Главная Статьи Управление капиталом Оптимальное f или оптимальный рычаг?
Оптимальное f или оптимальный рычаг?
06.12.2010 13:16

Концепция «оптимального f», наверное, известна каждому трейдеру, который хоть сколь-либо серьезно интересовался манименеджментом и управлением капиталом. Главный популяризатор этой идеи, американский автор Ральф Винс, хорошо знаком с Ларри Вильямсом – легендарным фьючерсным трейдером. Сам же Винс не является практикующим трейдером, и многие ставят это ему в упрек. Я, однако, так не считаю. Хороший механик не обязан быть водителем-асом. В принципе он даже вообще может не уметь водить. В профессиональных инвесткомпаниях, как правило, функции торговли и риск-менеджмента разделены. И это правильно: каждый специализируется на своем деле, и принимаются более взвешенные решения. Гораздо более серьезные претензии к «маэстро» есть как раз с противоположной, теоретической стороны вопроса.


Оптимальное f

Идея оптимального f стала популярной на почве азартных игр, благодаря усилиям Эдварда Торпа. Теоретические же ее корни уходят в теорию информации и работы Джона Келли (так называемый «критерий Келли»). Каким образом все это применимо к трейдингу? Проще всего показать на примере, который приводит сам Винс. Рассмотрим гипотетическую азартную игру вроде «орлянки». Если выпадает «орел», игрок выигрывает 2 рубля, если «решка» – проигрывает 1 рубль. Интуитивно игра кажется достаточно привлекательной, поскольку размер выигрыша намного больше, чем проигрыша. Но сколько денег нужно ставить на кон? Оказывается, есть оптимальная доля (fraction) капитала – f , которой нужно рисковать в каждом розыгрыше. Оптимальная в том смысле, что при такой стратегии достигается максимальный рост капитала в долгосрочной перспективе – в длительной серии игр. Неискушенные трейдеры и игроки часто думают, что максимальный рост достигается при максимальном размере ставки, но это не так. Это очень легко проверить. В частности, в приведенном примере, если на кон будет поставлен весь капитал, то с вероятностью 50% он будет полностью потерян, и наступит разорение – игру будет невозможно продолжать без привлечения дополнительных средств. Оптимальное f в такой игре равно 25%, т.е. рисковать надо четвертью капитала. Напр., при капитале 100 рублей на первый кон следует ставить 25. В случае выигрыша капитал увеличится до 150р. и на следующий кон следует ставить уже 150/4 = 37.5 и т.д. Если же первый кон окажется проигрышным, капитал уменьшится до 75р., тогда размер следующей ставки 75/4 = 18.75. Можно показать, что при использовании такого метода управления размером ставки достигается максимальный рост в длительной серии игр, скажем, в 100 и более. Для подобного рода игр оптимальное f находится по очень простой формуле:

f = p + (p - 1)/W,

p – вероятность выигрыша, W – выигрыш в %% (отношение размера выигрыша к размеру проигрыша).


Недостатки оптимального f

Нельзя сказать, что эта формула совсем уж бесполезна. Более того, в некоторых частных случаях, напр., для бинарных опционов или для систем с жесткими стопами и профитами (правда, такие системы, на мой взгляд, сами по себе неоптимальны), она является точной. Для инструментов же, прибыли и убытки по которым принимают диапазон значений, она не годится. Заслуга Винса заключается в том, что он расширил подход с f на такие инструменты как фьючерсы, акции, валюты, то есть все то, с чем имеет дело основная масса трейдеров. Однако сделал он это математически довольно-таки «коряво». Во-первых, Винс работает не с процентными доходностями, а с пунктовыми. Это уже делает его подход слегка некорректным, поскольку оптимальное f, рассчитанное таким образом, зависит от текущего ценового уровня, что при трендовой торговле является нежелательным. Собственно говоря, непонятно почему трейдер дошедший до такой премудрости как манименеджмент не может сделать и еще один шажок – начать работать с процентами, а не с пунктами. Усилия минимальны – зато методология становится корректной во всех случаях, и уже можно не забивать себе этим голову. Во-вторых, Винс исходит из искусственной модели ценовой динамики. Эта модель предполагает, что сделки совершаются через равные промежутки времени, напр., раз в день, как будто цена существует только в эти моменты времени, т.е. это модель так называемого «дискретного времени». В реальности же цена может меняться в любой миг. Этот факт открывает путь для методологии иного типа…


Оптимальный рычаг

Автором этого подхода является Роберт Мертон – очень известный ученый, лауреат нобелевской премии за ценообразование опционов. Оптимальный финансовый рычаг – частный случай описанного Мертоном оптимального динамического портфеля. Модель Мертона, разработанная, кстати, еще до Винса, в 70-е, предполагает, что цена может меняться в любой мыслимый момент времени, т.е. это модель «непрерывного времени». Такие предположения о ценовой динамике используются в знаменитой опционной формуле Блэка-Шоулза. В академической литературе это обозначается как «геометрическое броуновское движение». Математически – это экспонента обычного броуновского движения. Экспонента тут необходима для того, чтобы обеспечить положительность значений случайного процесса, поскольку цена – моделируемая величина – не может быть отрицательной. Броуновское движение, в свою очередь, имеет прототипом процесс так называемого «случайного блуждания» (random walk). В образной форме его можно уподобить бросанию монетки, по результатам которого цена движется на один пункт вверх или вниз. Броуновское движение возникает, когда такая «монетка» бросается «непрерывно», в любой мыслимый момент времени, а цена при этом изменяется на «сколь угодно малый» шаг. Этот подход также не лишен недостатков. В частности, предполагается, что цена изменяется хоть и хаотично, но плавно, без прыжков. Это идеализация. Однако для ликвидных инструментов не столь уж и далекая от жизни. В целом модель «цены в непрерывном времени», использованная Мертоном, все же более адекватна, чем модель «цены в дискретном времени», которой неосознанно пользуется Винс. Кроме того, модель Мертона дает простые и логичные формулы, тогда как у Винса нет ни одной явной формулы для расчета оптимального f, за исключением вырожденного случая с фиксированным размером профита и лосса.


В чем разница?

Основное различие моделей в том, что вместо оптимального f центральным становится понятие финансового рычага. И это дает ряд преимуществ. Для вычисления оптимального рычага не требуется знания будущего максимального убытка в сделке. Поскольку цена движется непрерывно, без «проскальзываний», всегда есть возможность оперативно скорректировать размер позиции. Это предполагает «непрерывную» торговлю. В эпоху high frequency trading это даже не кажется столь уж фантастичным. Однако, учитывая издержки в виде спредов и комиссий, целесообразно корректировать размер позиции не очень часто, напр., раз в день, или еще лучше каждое n% движение цены. При этом формулы, построенные на концепции непрерывной торговли остаются вполне работоспособными. Оптимальный финансовый рычаг не столь чувствителен к размеру наихудшего убытка. Фактически можно просто оптимизировать рычаг, даже не задаваясь этим вопросом, а уж какой трейд окажется наихудшим, будет ясно потом – по факту. Кроме того, с точки зрения риск-менеджмента важен не столько наихудший трейд, сколько наихудшая просадка в серии сделок, и формулы для оптимального финансового рычага позволяют оценить вероятность такой просадки! У Винса же оптимальное f очень сильно зависит от размера максимального убытка. Поскольку заранее он никогда неизвестен, и его трудно спрогнозировать, это делает проблематичным использование подхода Винса на практике. Переход к понятию рычага позволяет элегантным образом обойти эту проблему. К тому же Винс ничего не говорит о максимальной просадке – только о наихудшей сделке.


Как применять?

В отличие от оптимального f, которое чаще всего находится переборным методом на истории сделок, финансовый рычаг можно оптимизировать аналитически – при помощи формулы. Она имеет очень простой вид. Курьезно, что она не сложнее, чем формула для оптимального f с фиксированными размерами прибыли:

L = (m-r)/s2,

m – доходность, s – волатильность, r – процентная ставка за кредитное плечо.

Чтобы на практике использовать эту формулу, трейдер должен знать среднюю арифметическую процентную доходность торговой системы и ее волатильность. Эти статистические характеристики несложно оценить по истории сделок. Здесь важно отметить два момента. Во-первых, доходность системы – это чистая доходность, без использования рычага: С/O - 1 – для длинных и 1 - С/O – для коротких сделок, т.е. доходность короткой сделки – просто смена знака доходности длинной. Во-вторых, если система предполагает сделки с разным количеством баров (разной длительностью удержания позиции), средняя доходность должна измеряться на регулярной основе. Иными словами, в этом случае нужно вычислять доходность не сделок, поскольку они могут иметь разную длину во времени, а эквити, напр., на ежечасной или ежедневной основе. Аналогично, корректировка размера позиции тоже должна осуществляться не перед открытием новой сделки, а еще «во время жизни» старой, если это необходимо. Когда это может быть необходимо? В том случае, если цена достаточно сильно изменилась, и, соответственно, сильно изменилось и состояние депозита. Можно, напр., корректировать позицию при каждом 5% изменении депо. Однако такой подход достаточно трудоемок, поскольку требует непрерывного мониторинга состояния счета. Это требует написания специального «робота»/«советника» для автоматизации манименеджмента или встройку его в уже имеющийся код системы, если используется МТС. Альтернативный вариант – мониторить счет, напр., раз в день и при необходимости корректировать размер позиции вручную. На практике удобно сначала найти просто ценовые доходности по инструменту, напр., дневные, потом каждой доходности присвоить метку: если она принадлежит длинной сделке – «1», если короткой – «-1». Далее в любом табличном редакторе и т.п. программе доходности умножаются на соответствующие метки. В итоге имеем регулярный ряд доходностей для эквити. Имея такой ряд, уже очень просто вычислить необходимые статистики.


Влияние прыжков

В действительности оптимальный финансовый рычаг, вычисленный по формуле, будет всегда чуть выше, чем реальный. Это связано с тем, что цена на самом деле движется не непрерывно, как предполагает модель, а прыжками. Если прыжки маленькие, 1-2 или даже 10 пунктов, это не создает особых проблем, поскольку они вполне вписываются в модель, но вот если возникает широкий гэп – это уже другое дело. Можно ли как-то улучшить формулу для оптимального рычага, если трейдер имеет прогноз наихудшего (вверх или вниз, в зависимости от направления позиции) гэпа? Оказывается, да. Подробнее об этом – расскажу отдельно. Здесь же пока только приведу пример. Для простоты предположим, что трейдер использует бычью трендовую стратегию. Он ожидает в течение года среднего роста акции на 35% с волатильностью также 25%. Плата за плечо составляет 10% годовых. Оптимальный финансовый рычаг в этом случае будет: (0.35 - 0.1)/0.252 = 4. Но вот, допустим, что трейдер в течение года опасается внезапного ценового скачка вниз и предполагает, что в худшем случае он не превысит 2.5%. Вычисленный по скорректированной формуле размер рычага составит 3.56. Как видно, любые прыжки, проскальзывания и гэпы уменьшают размер финансового рычага, и вообще их следует всячески избегать, поскольку они отрицательно сказываются на росте капитала. Более того, даже если бы потом произошла столь же резкая коррекция вверх на 2.56%, восстанавливающая потерянный ценовой уровень, даже в этом случае оптимальный рычаг был бы меньше, чем по формуле без прыжков. При торговле с реинвестированием (постоянным f/рычагом) положительные прыжки лишь частично компенсируют вред от отрицательных!


Есть ли связь?

Как же все-таки связаны оптимальное f и оптимальный финансовый рычаг? Любой трейдер управляющий размером позиции по методу Винса, даже если не осознает, использует некоторый постоянный (на практике – в среднем) рычаг. Вычислить его очень просто: L = f/J. Допустим, оптимальное f =25%, наихудший убыток в сделке (прыжок цены) J = 5%. Это значит, что трейдер использует оптимальный рычаг L = 25%/5% = 5. Аналогичным образом можно вычислить оптимальную долю f = J*L. Предположим, трейдер, торгующий с постоянным финансовым рычагом 1:5, корректирует позицию раз в день. Ожидаемый наихудший дневной убыток 5%. Это значит, что он торгует с оптимальным f = 5%*5 = 25%. Таким образом, формулы для оптимального финансового рычага можно использовать и для отыскания оптимального f, если вам привычнее думать в таких терминах. Однако стоит отметить, что рычаг – это более общее понятие, и фактически оно включает в себя f как частный случай. Финансовый рычаг может быть и меньше единицы. В такой ситуации для инструментов, инвестируя в которые можно потерять весь капитал, таких как опционы или рассмотренная гипотетическая «орлянка», рычаг по смыслу превращается в f. Так или иначе, как уже было отмечено, финансовый рычаг более устойчивая величина, и он требует меньше предположений о будущем, чем f, поэтому трейдеру рекомендуется мыслить именно в таких категориях. Почему же понятия «оптимальный рычаг», «управление капиталом с постоянным рычагом» и т.п. не столь известны, или даже мало известны? Это связано с тем, что модель родилась в академических кругах, была изложена на соответствующем языке (стохастические интегралы и т.п.), а популяризатора подобного Винсу, к сожалению, не нашлось. Тем не менее, постепенно она приобретает все большую известность не только среди профессиональных риск-менеджеров, но и среди вполне обычных трейдеров. В качестве примера можно назвать имя Ernie Chan – довольно известного в буржунете трейдера-блоггера. Подробнее – Гугл вам в помощь…



© q-trader

[обсудить на форуме]


 

Комментарии  

 
+1 # Игорь 11.02.2011 12:52
Знаете, чем ваши лекции похожи книгу Ральфа Винса? Много умных слов, но ним черта не ясно как делать! Вам не кажется, что тема, сопряженная с расчетами должна подкрепляться не изящным трепом, а Числовыми примерами и методикой?
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
0 # q-trader 11.02.2011 19:36
Я тоже об этом думал. Надо бы сделать 1-2 статьи предельно ориентированные на практику, где бы "на пальцах" объяснялось, что и как. Но так уж принято, что начинают все-таки с теории, чтоб человек мог хотя бы в общих чертах уловить, что и откуда берется.
Тема ММ далеко не исчерпана, не только с практической, но и с теоретической точки зрения. Будет еще масса статей как по теории, так и по практике.
Пока же рекомендую почитать и другие статьи в данном разделе сайта, а также возможно вас заинтересует раздел "Калькуляторы" - это шажок к практике, который уже есть
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
0 # Игорь 11.02.2011 21:32
Цитирую q-trader:
Я тоже об этом думал. Надо бы сделать 1-2 статьи предельно ориентированные на практику, где бы "на пальцах" объяснялось, что и как. Но так уж принято, что начинают все-таки с теории, чтоб человек мог хотя бы в общих чертах уловить, что и откуда берется.
Тема ММ далеко не исчерпана, не только с практической, но и с теоретической точки зрения. Будет еще масса статей как по теории, так и по практике.
Пока же рекомендую почитать и другие статьи в данном разделе сайта, а также возможно вас заинтересует раздел "Калькуляторы" - это шажок к практике, который уже есть

То, что изложено не теория. Мне отрадно было прочесть Лекцию №0, там где говорилось о неопределенност и и делался вывод о важности размера выборки, но вывод! Нужно применять эвристические методы. Если я знаю размер выборки, мне уже ничего не нужно, далее я сделаю все сам. У Вас есть какие-то решения по этому вопросу?
Далее, Про плечи и "оптимальное f". все красиво но непонятно. Дайте выкладки!
Вы, мне кажется попали в ловушку упрощенчества. Желая быть понятыми всеми, в результате, вы непонятны ни для кого. Тема ММ не для всякого уровня подготовки. К сожалению, это факт! Те кто может понять, должны получить все как есть, кто не может, расчетные формулы. Давайте начнем с определений. Только без соплей и парного молока.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
0 # q-trader 11.02.2011 22:05
Цитирую Игорь:
Если я знаю размер выборки, мне уже ничего не нужно, далее я сделаю все сам. У Вас есть какие-то решения по этому вопросу?


Тут мне видится два возможных варианта:
1) брать минимальный размер выборки, при котором обеспечивается приемлемая точность оценок;
2) сам размер выборки сделать оптимизируемым параметром

1) Напр., нужно оценить будущую волатильность. Берем разные размеры выборок, скажем, от 100 наблюдений и выше и подставляем в формулу (она потом будет описана, а еще лучше будет сделать уже готовый калькулятор). Допустим, при выборке 100, доверительный 95% интервал для значений волатильности составляет 15-25% годовых. Для нас такой уровень точности является неприемлемым. Берем выборку 200. Границы интервала сужаются скажем до 19-21%. Нас это устраивает и мы останавливаемся на этом объеме выборки.

2) Объем выборки делается частью процедуры оптимизации системы. Оптимизируем систему сначала на мелких выборках. Смотрим как она работает на тестовых котировках. Увеличиваем размер выборки. Сравниваем и т.д. Некоторые нейросетевые алгоритмы, кстати, могут это делать автоматически. Специальные нейросетевые архитектуры могут таким образом настаивать глубину временного окна.

Что касается ММ. Действительно, трудно про это писать (и читать!). Я сам с этим сталкивался, когда читал г-на Винса и более жуткие вещи. Будут еще материалы разного уровня сложности. В итоге, думаю найдется на любой вкус и уровень подготовки читателя. А сразу создать какой-то "идеальный текст" на эту тему очень сложно. Лично я по несколько раз перечитывал книги по этой тематике, прежде чем начал во что-то врубаться. В идеале, наверно, надо попробовать создать некую пошаговую инструкцию как практический итог.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
0 # Игорь 12.02.2011 01:57
1) Напр., нужно оценить будущую волатильность. Берем разные размеры выборок, скажем, от 100 наблюдений и выше и подставляем в формулу (она потом будет описана, а еще лучше будет сделать уже готовый калькулятор). Допустим, при выборке 100, доверительный 95% интервал для значений волатильности составляет 15-25% годовых. Для нас такой уровень точности является неприемлемым. Берем выборку 200. Границы интервала сужаются скажем до 19-21%. Нас это устраивает и мы останавливаемся на этом объеме выборки.

2) Объем выборки делается частью процедуры оптимизации системы. Оптимизируем систему сначала на мелких выборках. Смотрим как она работает на тестовых котировках. Увеличиваем размер выборки. Сравниваем и т.д. Некоторые нейросетевые алгоритмы, кстати, могут это делать автоматически. Специальные нейросетевые архитектуры могут таким образом настаивать глубину временного окна.
По п.1 На каком таймфрейме сие будет делаться? Но это так, к слову. Вообще если брать за критерий точность, то нужно и подойти к нему соответственно. В этом случае точность должна быть определена из каких-то соображений.
По п. 2. То же самое! Оптимизация требует целевой функции или функционала. Что это будет? Доходность? Вряд ли. Вообще, я прихожу к выводу, что создавать нужно системы из принципа "не хуже". Оптимум невозможен, ну сами знаете.
я почитал Вашу статью про оптимальный рычаг. Это уже кое-что. Я понял, что это все построено на некоей теории. Можно ли её как-то узнать?
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
0 # q-trader 12.02.2011 14:26
Насчет таймфрейма для оценки параметров пока что не могу сказать со всей уверенностью, но наверно логично, что он должен быть привязан к горизонту инвестирования. Если горизонт инвестирования, скажем, год, то и для оценки нужно брать объем данных сопоставимый по длине, т.е. от нескольких месяцев до 1-2 лет. Что касается частоты данных, то считается, что чем мельче таймфрейм, тем точнее полученные оценки. То есть в идеале при инвестиционном горизонте в 1 год нужно брать, ну, допустим, год тиковой истории. На практике же приходится иметь дело с теми данными, которые есть под рукой

Что оптимизировать? Выражаясь наукообразно это зависит от вашей "функции полезности" капитала. Популярный выбор - логарифмическая полезность. Это означает максимизацию долгосрочного роста капитала. Это как раз подход, который исповедует Винс. Однако максимальный рост предполагает и существенные просадки. Напр., вероятность 50% просадки при такой стратении ММ равна 50%, т.е. в половине случаев такая просадка будет наблюдаться. Поэтому можно, напр., наложить ограничения на просадку, скажем, не более 25% и оптимизировать рост капитала при таком уровне просадки. Или еще есть довольно таки симпатичный подход - максимизировать достижение инвестиционной цели, которая формулируется в %% годовых, напр., 50 или 100% и т.д. Про это можно почитать тут: http://q-trading.ru/index.php/articles/money-management/341-v-pogone-za-rostom.html
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить



© 2010–2012. Все права защищены.
Копирование материалов, размещенных на сайте, разрешается только с рабочей ссылкой на источник.



| О проекте |  Правовая информация |
|  Напишите нам |  Карта сайта |



  

 Новости
главные новости экономики и финансовых рынков: события, мнения, прогнозы.

 Статьи
материалы по теханализу, фундаментальному анализу, управлению капиталом (манименеджмент) и др.

 Рынки
фондовый, валютный, товарный рынки: исторические обзоры, динамика, доходность, корреляции.

 Калькуляторы
xls-калькуляторы для оптимизации размера и структуры торговой позиции; опционные калькуляторы.

 Софт
торговые терминалы, программы для теханализа, оптимизации систем и др.: статьи, обзоры, видеоуроки.

 Архив котировок
индексы, валюты, сырье: многолетние истории котировок в форматах .xls и .txt.

 Индикаторы
ºSiX – индикатор настроения рынка на основе расчета соотношения количества опционных контрактов put и call.

 Библиотека
собрание книг, которые рекомендуется прочесть каждому трейдеру в первую очередь.

 Словарь
толкование основных экономических, финансовых терминов, трейдерский сленг.

 Форум
обсуждение материалов сайта и любых вопросов трейдинга и инвестирования.