Быстрый и устойчивый рост капитала – заветная мечта любого трейдера и инвестора. И эта мечта может стать реальностью, если есть доступ к ее «исполнителю» – финансовому рычагу. Именно легкость использования рычага, умножающего потенциальную доходность в разы, притягивает столько людей к финансовым рынкам и спекуляциям. Современные брокерские фирмы и дилинговые центры предлагают инструменты с большим диапазоном кредитного плеча – до 1:100 или даже до 1:500. Как правило, такие огромные цифры и не требуются.

К счастью, трейдер может сам варьировать текущий рычаг, выбирая адекватный размер открываемых позиций, благо торговые условия в большинстве компаний сейчас весьма демократичные. В принципе, при желании, даже с относительно небольшим капиталом в районе 1000$ можно торговать и «без рычага» (1:1). Перед трейдером, поэтому неизбежно встает вопрос выбора оптимального размера финансового рычага, даже если он не осознает эту проблему в таких терминах. В любом случае он должен определится с тем сколько лотов покупать/продавать, а это тоже самое, только сформулированное на языке брокера, поскольку ему проще предлагать инструменты со стандартными размерами. Рычаг же – это язык манименеджмента, и если трейдер хочет устойчиво делать свои заветные «икс» процентов годовых, ему следует освоить и этот язык тоже.

Начнем с матана

Наверное, многие трейдеры имеют инвестиционную цель вида «икс» процентов годовых, или, даже если они над этим специально не задумывались, могут сформулировать минимальные требования к доходности своих торговых систем, при которой есть смысл и интерес этим заниматься. Допустим, трейдер хочет, чтобы его система в среднем давала как минимум 50% годовых. Можно ли как-то подобрать размер финансового рычага (или иными словами – стратегию управления размером позиции), чтобы вероятность достижения этой цели была максимальной? Оказывается, да! Более того, при определенных, достаточно реалистичных упрощениях, эту вероятность (P) и ассоциированный с ней размер рычага (ℓ), можно вычислить по весьма простым формулам:

ℓ = [2ln(1+g)]^½/σ

P = Φ[(Q - [2ln(1+g)]^½)T^½],

g – инвестиционная цель, µ – доходность, σ – волатильность, Q = µ/σ – отношение Шарпа, T – срок вложения, ln() – функция натурального логарифма, ()^½ – квадратный корень.

Как видно, формулы, учитывая амбициозность поставленной проблемы, относительно несложные. На уровне школьного курса математики. Единственная функция, которая может вызвать некоторые «непонятки» – Φ() – это функция стандартного нормального распределения. Ее легко можно вычислить в Excel при помощи НОРМСТРАСП(), или в MATLAB – normcdf(). А еще проще воспользоваться нашим фирменным q-калькулятором!

Волатильность и цель

Формулы – это инструмент. Знаем их – хорошо, можем вычислять на практике – еще лучше. Однако чрезмерно зацикливаться на них не стоит. Главное понимать финансовый смысл того, что они выражают сухим математическим языком, но чтобы не быть голословным, сначала все-таки следует произвести некоторые расчеты. Вернемся к нашему трейдеру, вожделеющему 50% годовых. Согласно первой формуле для нахождения оптимального финансового рычага требуется только знание ожидаемой волатильности. И это очень приятный момент! Доходность финансовых активов и торговых систем крайне нестабильна. Это общеизвестный факт. Зато долгосрочная волатильность – довольно устойчивая характеристика. По этой причине всякая финансовая формула, в которой нет ожидаемой доходности, напр., знаменитая опционная формула Блэка-Шоулза, радует практика. Предположим, что ожидаемая волатильность эквити трейдера 25% в годовом выражении. Здесь имеется ввиду «чистая волатильность» депозита, измеренная на периодических интервалах, напр., часах или днях, при торговле по системе без рычага. Поскольку мы еще только ищем оптимальный размер финансового рычага, любые показатели системы должны вычисляться в чистом виде. Подставляя в формулу g=0.5 и σ = 0.25, получаем, что оптимальный рычаг, необходимый для достижения поставленной цели равен 3.6. Трейдер периодически корректирующий размер позиции, чтобы поддерживать рычаг на этом оптимальном уровне, имеет максимальную вероятность достигнуть поставленного среднего темпа роста. Это не предполагает, что его годовой рост за конкретный год непременно будет 50% и выше, а означает, что усредненный рост капитала за несколько лет с высокой вероятностью будет составлять 50% в годовом выражении. Точно также будет и для систем работающих на мелких таймфреймах. Напр., трейдер, поставивший целью 0.5% в день, если все будет ОК, непременно добьется такого роста, но не в конкретный день, а, напр., за один год, т.е. его среднедневной рост за год с высокой вероятностью будет близок к целевым полпроцента.

Не всякая цель достижима

То, что оптимальный рычаг, необходимый для достижения инвестиционной цели, не зависит от ожидаемой доходности, интуитивно кажется странным. Однако здесь нет никакого парадокса или противоречия. Посмотрим, что происходит с вероятностью целевого роста, с течением времени. Для того же примера с g=0.5 построим график по второй формуле. Для этого нужно задать какое-то значение Q – отношению Шарпа. Вот тут то и всплывает «потерянная» доходность. Хорошая система может иметь Q = 2. Это подразумевает арифметическую доходность (сверх ставки за кредитное плечо) вдвое превышающую волатильность – 50%. Ниже на картинке приведен график зависимости вероятности от срока вложения. По горизонтальной оси отложено время в годах, по вертикальной – вероятность достижения цели.

Как видно, с течением времени вероятность достигнуть желаемого роста увеличивается, и в пределе стремится к 100%. При этом оптимальный для данной цели рычаг 3.6 доминирует в плане вероятности ее достижения над рычагом 8, оптимальным для астрономического роста 638% годовых. Но что будет, если доходность системы окажется недостаточно хорошей? Смотрим картинку:

В этом случае наблюдается зеркально противоположная динамика – вероятность приближается к нулю. Это означает, что хоть для оптимизации рычага и не требуется точного знания ожидаемой доходности, цель должна быть реалистичной, иначе она, скорее всего, не будет достигнута. Если же ставится высокая цель, это предполагает, что и качество системы должно быть на соответствующем уровне: доходность должна быть не меньше, чем σ[2ln(1+g)]^½, или в терминах коэффициента Шарпа Q ≥ [2ln(1+g)]^½. При нереалистичных целях, рычаг, вычисленный по первой формуле, оптимален в том смысле, что при любых других рычагах вероятность достигнуть цели еще меньше (это отражено на второй картинке), но поскольку доходность системы ниже, чем нужно, и при этом «оптимальном» рычаге ее достижение – чисто вопрос везения. Это примерно как играть в орлянку с несимметричной монетой, ставя на «орла», когда вероятность его выпадения только 40%. Если есть азарт – можно сыграть, но рационального смысла нет. Тем не менее, то, что формула для рычага не требует знания конкретного значения будущей доходности – это хороший факт, поскольку на практике ее перспективы обычно весьма туманны, и гораздо проще задать некоторый диапазон ожидаемых значений (скажем, от 25% и выше), чем дать строгую точечную оценку (напр., ровно 51%). Кроме того, если не повезет, и система окажется недостаточно доходной, греет мысль, что все-таки вероятность достижения цели при таком рычаге максимальна!

Заключение. На пределе возможностей

В заключение интересно также проанализировать случай оптимального рычага для максимального роста (оптимального f в терминологии Р. Винса). При таком финансовом рычаге ожидаемый рост максимален, однако вероятность его достижения неизменна во времени и составляет 50%. Если цель стоит на пределе возможностей торговой системы, вероятность ее достижения со временем не увеличивается! Более того, в половине случаев, она вообще не будет достигнута. Это не означает, что система обязательно окажется убыточной. Просто будут реализованы более скромные цели, но их ведь можно было достичь при меньшем рычаге, с меньшими рисками и просадкой!

© q-trader

[обсудить на форуме]