Плотность вероятности случайной величины и другие, связанные с ней функции, рассмотренные в предыдущем уроке, дает полное знание всех ее характеристик. Однако на практике нам привычнее и удобнее работать не с функциями, а с отдельными числами – средними значениями. К тому же, точный закон распределения финансовых величин, как правило, никогда не известен, поэтому сравнивать, скажем, две торговые системы гораздо проще, удобнее, а, быть может, даже и корректнее при помощи обобщенных показателей. В математической статистике такие показатели принято называть моментами случайной величины.

Степенные функции

Самым важным, и к счастью, самым легким в понимании моментов является интуитивно знакомый термин «математическое ожидание» или, проще говоря, среднее арифметическое. Моментом называют среднее значение той или иной степени случайной величины. К примеру, возьмем дневные доходности по какому-либо инструменту за последние сто дней, возведем их в квадрат, а потом вычислим среднее значение их квадратов. Это будет т.н. «начальный момент второго порядка». Почему второго, я думаю, ясно. А вот почему начальный? В англоязычной литературе обычно используется термин «raw moment» (дословно – «сырой»). Связано это с тем, что он вычисляется от точки ноль, т.е. от начала координат. Для практики большую значимость представляют т.н. «центральные моменты», и в дальнейшем мы всегда будем иметь дело именно с ними, если это специально не оговорено. Они вычисляются от среднего значения – естественной точки отчета для случайной величины, и, грубо говоря, характеризуют то, как величина разбросана относительно среднего.

Доходность

Самый простой момент – математическое ожидание первой степени случайной величины, т.е. ее самой – это и есть само матожидание. Формально оно называется начальным моментом первого порядка. Это очень важная характеристика. Когда в финансовой статистике говорят о доходности какого-либо рискового актива, то всегда подразумевают его среднюю доходность, если конечно не рассматривается индивидуальная доходность, скажем, за какой-то конкретный торговый день. Прибыльная торговая система должна иметь положительную доходность, положительное матожидание – это аксиома. Следует заметить, что сама по себе положительная доходность еще не является гарантом успеха. Напр., если трейдер выберет неадекватный размер финансового рычага при открытии позиций, он может весьма быстро получить margin call, потеряв большую часть своего депозита. Кроме того, в профессиональной литературе по финансовой эконометрике и т.п. обычно оперируют не с обычными, а с логарифмическими доходностями, вычисляемыми по формуле: ln(P_t/P_t-1). Начинающим такая формула расчета может показаться странной и непонятной. Тем не менее, логдоходность – это очень удобная концепция, а не какая-то математическая причуда. В большинстве случаев трейдера интересует рост его капитала или торгуемого инструмента (тренд). Поскольку рост является случайным процессом, адекватной его мерой является среднее значение, но не арифметическое, а геометрическое, так как процесс роста имеет мультипликативный характер: доходности перемножаются, а не складываются. Логарифмическая доходность позволяет перейти от умножения к сложению – более простой операции. Чтобы потом найти среднюю геометрическую доходность (средний рост), достаточно просто взять экспоненту от логдоходности: exp(µ) = e^µ ≈ 2.72^µ. Эта элементарная функция легко может быть вычислена на компьютере, напр., в Excel, или даже на микрокалькуляторе.

Увеличение среднего просто сдвигает кривую плотности вправо.

Волатильность

Вернемся к уже рассмотренному выше начальному моменту второго порядка. Будем вычислять его также, только предварительно вычтем из наших ста дневных доходностей их среднее значение, как говорят статистики, центрируем их. В этом случае будет получен второй центральный момент. В академической литературе его чаще всего называют дисперсией (англ. variance). Дисперсия является мерой разброса доходностей относительно их среднего значения. Однако сама по себе дисперсия не очень удобна, поскольку она имеет размерность квадрата. Это примерно как измерять рост человека не в обычных сантиметрах, а в квадратных. Поэтому для удобства восприятия из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется стандартным отклонением, а на финансовом жаргоне – волатильностью. Для новичка в матстате такое определение волатильности может показаться «взятым с потолка». Зачем возводить доходности в квадрат, а потом извлекать корень из дисперсии? Не проще ли вычислить средний абсолютный разброс самих доходностей, убрав знак минус у отрицательных сделок, не возводя их в квадрат? Действительно, такой подход является более понятным. Тем не менее, волатильность как корень из дисперсии удобнее с математической точки зрения, поскольку обладает рядом «хороших» свойств, чего не скажешь про среднее абсолютное отклонение. Напр., дисперсии независимых величин можно просто суммировать, когда ищется дисперсия портфеля и т.п. Кроме того, часто мы смотрим не столько на саму волатильность актива, сколько сравниваем его с другим активом. В этом случае стандартное отклонение всегда будет больше, если больше и абсолютное. Поэтому на практике можно вообще даже «забыть» о том, как вычисляется волатильность, благо для этого есть специальный софт, и просто думать о ней как о среднем типичном разбросе значений доходности.

Увеличение стандартного отклонения равномерно расширяет кривую плотности.

Асимметрия

Двигаясь дальше по степенному ряду, приходим к третьему центральному моменту. Он тоже характеризует разброс доходностей относительно среднего значения, но в отличие от дисперсии (волатильности) измеряется не средняя дистанция отклонений, а их перекос влево или вправо от среднего. Третий центральный момент зависит от уровня волатильности. Это затрудняет сравнение асимметрии разброса у величин с разной дисперсией. Чтобы решить эту проблему его нормируют, делением на волатильность в третьей степени (куб стандартного отклонения). Такая величина уже будет независима от волатильности. Она может принимать любые отрицательные и положительные значения. В отечественной литературе нормированный третий центральный момент называют коэффициентом асимметрии, а в англоязычной проще – скошенностью (skewness). Положительная асимметрия говорит о том, что правый хвост распределения длиннее, левого, а отрицательная – наоборот. Поскольку левый хвост для трейдера означает убытки, отрицательная скошенность – нежелательное свойство для торговой системы. У симметричной системы половина сделок будет меньше средней, а половина – больше, а у системы с отрицательной асимметрией, количество сделок хуже средней, в том числе и убыточных, будет значительно больше. Экстремальные убытки будут встречаться чаще, чем крупные прибыли. В целом финансовые временные ряды обычно характеризуются отрицательной асимметрией: паника при падении цен, как правило, оказывается сильнее эйфории при их росте. Однако все зависит от класса актива. Напр., валюты в целом более симметричны в отличие, скажем, от акций. Если у трейдера система примерно одинокого часто дает сигналы, как на покупку, так и на продажу, то асимметрия эквити будет близка к нулю, даже если сами по себе исходные доходности инструмента отрицательно скошены.

Синяя кривая – распределение с положительной асимметрией, красная – с отрицательной.

Эксцесс

Нормированный четвертый центральный момент называют коэффициентом эксцесса (kurtosis). По аналогии с асимметрией нормировка производится делением на волатильность в четвертой степени, но есть и различие: при вычислении куртозиса из нормированного момента еще вычитается цифра три. Такой показатель не зависит от дисперсии и в финансовой практике принимает обычно положительные значения. Знаменитое нормальное распределение имеет нулевой эксцесс, поэтому данный коэффициент можно рассматривать как показатель отклонения распределения от нормального закона. Правда, на практике иногда встречается путаница: некоторые авторы не вычитают цифру три, а некоторые – вычитают. Не вдаваясь в тонкости, следует отметить, что эксцесс с вычитанием трех – более удобен с математической точки зрения, да и иметь нормальное распределение в качестве точки отсчета (нуля) – тоже неплохо. Эксцесс визуально характеризует толщину хвостов распределения. Чем выше куртозис, тем толще хвосты. Поскольку полная вероятность по определению равна единице, если на графике плотности где-то прибавилось (в хвостах), то должно и где-то убавиться. Так и происходит. При высоком эксцессе наблюдаются толстые хвосты и острый пик, а вот вероятность умеренно удаленных от центра событий подавляется. У большинства финансовых рядов весьма высокий эксцесс. Напр., на дневных интервалах он может быть от 3 выше. Толстые хвосты – это плохо, поскольку толстый левый хвост означает частые экстремальные убытки. Поэтому трейдеру при отборе торговых систем при прочих равных условиях следует выбирать систему с наименьшим эксцессом. Динамику активов с высоким эксцессом можно описать так: большую часть времени котировки либо движутся мельчайшими шажками по 1-2 пипса, либо же сильно скачут, скажем, на 50-100 пипсов сразу, а вот прыжки, допустим, на 10-20 пипсов встречаются относительно редко, т.е. динамике присуща определенная крайность. Самое важное, что следует усвоить: при высоком куртозисе экстремальные прыжки котировок – не исключение, а вполне рядовое явление.

Синяя кривая – нормальное распределение, красная – с положительным куртозисом.

Тренд как система моментов

Обычно трейдер представляет тренд чисто графически, как он и определяется в теханализе. Однако ему можно сопоставить и более строгое числовое описание при помощи моментов. Средняя логдоходность определяет скорость роста, крутизну тренда. Чем она больше, тем быстрее растет цена. Спроецировать тренд в будущее можно по следующей формуле: P₀exp(µt), где P₀ – текущая цена, µ – средняя логдоходность за единицу времени – t. Два актива с одинаковой на некотором временном промежутке доходностью и одинаковой стартовой ценой будут иметь точно совпадающие начальные и конечные цены. Средняя доходность, таким образом, говорит о том, в какой точке окажется цена в некоторый интересующий нас момент времени. Однако попасть в эту конечную точку из начальной точки можно бесконечным числом способов – траекторий. Насколько сильно будет колебаться траектория тренда, определяется волатильностью – стандартным отклонением доходности. Наглядно это можно увидеть на следующем графике:

На рисунке представлен график двух гипотетических активов с одинаковыми логдоходностями, но с разными значениями волатильности. Не трудно определить, какой из них более рисковый. Теоретическую линию тренда (серая пунктирная) можно рассматривать как актив с нулевой волатильностью. Посмотрим теперь, как воздействует на траекторию цены положительный эксцесс. Визуально это проявляется в появлении резких, скачкообразных изменений котировок:

Красная линия – актив с положительным эксцессом. Оба актива имеют одинаковую волатильность. Некоторые из прыжков цены помечены «звездочкой». Актив с высокой волатильностью и нулевым куртозисом также может демонстрировать весьма резкие колебания, но все же цена будет изменяться не одним резким скачком, а серией более мелких. Экстремальные прыжки затрудняют хеджирование и управление размером позиции, поскольку не всегда бывает возможность оперативно скорректировать размер рычага. По этой причине высокие значения эксцесса следует избегать при выборе активов и торговых систем. Асимметрия же проявляется в том, что отрицательные или положительные прыжки оказываются в среднем более сильными. Эксцесс и асимметрия зависят от таймфрейма. Чем крупнее таймфрейм, тем ближе эти оба коэффициента к нулю. Более подробно об этом будет рассказано в одной из следующих лекций.

Резюме

В этой лекции мы познакомились с моментами – обобщенными показателями случайной величины и выяснили, что они могут быть весьма полезными на практике, в частности для числового описания тренда. Кто-то может задаться вопросом о том, какой смысл имеют моменты более высоких порядков: пятого, шестого и т.д. Они характеризуют еще более тонкие особенности формы плотности вероятности. На практике же, как правило, высшие моменты не используют. Это связано с проблемами точности оценок. Чем выше степень момента, тем больше требуется данных, чтобы оценить его с приемлемой точностью. Однако при тестировании торговых систем выборка не должна быть чересчур длинной, иначе обучение системы будет опираться на слишком старые данные. По этой причине в большинстве случаев бывает более чем достаточно четырех первых моментов.

См. также:

Статистика для трейдера. Лекция №0. Введение

Статистика для трейдера. Лекция №1. Способы описания случайной величины

Статистика для трейдера. Лекция №3. Операции над случайными величинами. Инвестиционный горизонт. Портфель активов

© q-trader

[обсудить на форуме]