В этой статье я расскажу об общих принципах и идеях, на которых основывается оптимизация портфеля. Тема эта обширная и интересная. Она заслуживает нескольких отдельных бесед. Хотя оптимизация формулируется чисто в математических терминах, я считаю, что самое важное – это не формулы и уравнения, а ПОНИМАНИЕ. На практике важно не столько знать, как выводится та или иная формула, сколько понимать, как ее использовать, и какую идею она выражает. Большинство формул портфельной оптимизации, какими бы сложными они не казались на первый взгляд, в сущности, просто выражают на математическом языке интуитивно понятные инвестиционные принципы.

Ключ к оптимальным портфелям – понимание принципа диверсификации. В зарубежных книжках он часто иллюстрируется следующей поговоркой: don't put all your eggs in one basket – не клади все яйца в одну корзинку. Это является понятным на интуитивном уровне, если корзина упадет – разобьются все, но если в каждую корзинку положить по яйцу, вероятность одновременно разбиться значительно ниже. Из теории вероятности можно вспомнить, что вероятности совместного появления событий перемножаются. Например, если вероятность банку разорится 0.5 (цифра условная), то вероятность одновременно разориться двум банкам: 0.5 х 0.5 = 0.25, то есть в два раза меньше. Эти идеи легко переносятся и на инвестиционные стратегии. Вкладывая все деньги в одну акцию, вы сильно рискуете: прибыли компании могут сильно упасть, она может даже вообще обанкротиться. Все это не лучшим образом скажется на котировках ее акций. Однако если деньги поровну вложить в 10 акций, риск одновременного появления неблагоприятных событий по всем 10-ти компаниям очень мал, соответственно ожидаемый размер возможных потерь от такого капиталовложения тоже гораздо ниже.

Как перевести эти простые и понятные идеи на математический язык? Оказывается не так и сложно. Что привлекает инвесторов к акциям? Их ожидаемая доходность. Акция с ожидаемой доходностью 25% годовых привлекательней акции с доходностью в 20%. Казалось бы, что вторая акция тогда вообще не будет интересовать инвестора, но это не так. Кроме доходности все финансовые инструменты (кроме гособлигаций и т.п.) имеют еще одну характеристику – волатильность. Волатильность является мерой риска. Она выражает характерный масштаб ценовых колебаний. Например, волатильность в 40% означает, что акции не составляет труда в среднем прогуляться за год на 40% вверх или вниз. Поскольку не существует безрисковых акций, наряду с ожидаемой доходностью при отборе акций обязательно следует учитывать их ожидаемые волатильности (их можно, например, оценить по истории котировок). Тогда возникает вопрос: что лучше – акция с доходностью 25% и волатильностью 50% или акция с доходностью 20% и волатильностью 30%? Ответ на этот вопрос дает «отношение Шарпа»:

ДОХОДНОСТЬ/ВОЛАТИЛЬНОСТЬ

Для первой акции оно составит 0.5, для второй 0.67. Вторая акция компенсирует свою меньшую доходность пониженной  волатильностью. На самом деле, если есть возможность кредитования, можно показать, что при помощи финансового рычага можно поднять доходность второй акции до уровня доходности первой, но при этом иметь меньший ожидаемый риск. Предположим условно, что процентная ставка по кредитам составляет 1%. Если выбрать финансовый рычаг 1:1.32 (взять в кредит денег на сумму 32% от имеющихся средств), то ожидаемая доходность второй акции за вычетом процента по кредиту составит приблизительно 25%, а волатильность при этом – всего лишь 40%. Возможен альтернативный подход – с большим размером финансового рычага (67% заемных средств) можно сравнять волатильность второй акции с волатильностью первой, но при этом вторая будет иметь большую ожидаемую доходность – 32%. Чтобы учесть стоимость кредита, формулу нужно подкорректировать:

(ДОХОДНОСТЬ – КРЕДИТНАЯ СТАВКА)/ВОЛАТИЛЬНОСТЬ

Это и есть оригинальная формула Шарпа. Чем больше отношение Шарпа у акции, тем больше ее истинная ожидаемая доходность при возможности кредитования. Если существует возможность кредитования и можно купить только одну акцию, следует покупать ту из них, у которой отношение Шарпа больше. А если не все деньги вкладываются в акции, а, например, только половина? В этом случае правило Шарпа также действует – портфель из акции с максимальным отношением Шарпа и банковского вклада будет иметь наибольшую доходность при таком-то уровне волатильности, и наименьшую волатильность при таком-то уровне доходности, чем все другие портфели.

Обратимся теперь к более реалистичной ситуации, когда можно покупать несколько акций, а также занимать и одалживать деньги. Как распределить средства по акциям? Сейчас я математически покажу, как действует принцип диверсификации. Допустим, есть две акции с одинаковой волатильностью 20% каждая. Как вычислить волатильность портфеля, в котором деньги поровну вложены в каждую акцию? Из теории вероятности известно, что дисперсия (квадрат волатильности) суммы (независимых) случайных величин равна сумме их дисперсий. Дисперсия случайной величины умноженной на постоянное число (это число – доля в портфеле в нашем случае) равна исходной дисперсии умноженной на квадрат этого числа. Найдем дисперсию портфеля:

20%² х 0.5² + 20%² х 0.5² = 0.04 x 0.25 + 0.04 x 0.25 = 0,01 + 0,01 = 0,02

А теперь найдем волатильность – это просто корень из дисперсии: sqrt(200) = 14%. Волатильность портфеля из двух акций ниже, чем волатильность каждой акции в отдельности. Если создать аналогичный пропорциональный портфель из трех акций, его волатильность будет менее 4%! И так далее… Чем больше мы распределяем средства по разным активам, тем менее волатильный, а, значит, и менее рискованный портфель мы имеем.

Надеюсь, эта вводная статья об оптимальных портфелях даст вам достаточно пищи для размышлений. Как-нибудь я расскажу, как соединить уменьшение риска (диверсификацию) с увеличением доходности при оптимизации вашего портфеля. Кроме того, мы рассмотрим влияние корреляций (зависимостей в ценовых движениях) между активами на эффективность диверсификации и структуру портфеля.

См. также калькуляторы:
Оптимальный портфель

© q-trader

[обсудить на форуме]